Кафедра теории упругости была создана на физико-математическом факультете в 1937 году. Её первым заведующим стал в возрасте 28 лет выдающийся советский ученый Сергей Георгиевич Лехницкий. В 1940 году он получил степень доктора физико-математических наук и звание профессора. В состав кафедры входили доцент Лучинин Д.И., ассистент Шубцов В.Г. и лаборант Нарышкин М.И.. Все трое в 1941 году ушли добровольцами на фронт и погибли.

В 1989 году заведующим кафедрой стал ее воспитанник Леонид Юрьевич Коссович. В этом же году, учитывая новые дополнительные научное и педагогическое направления кафедры, она была переименована в кафедру математической теории упругости и биомеханики. В 1998 году Л.Ю. Коссович был удостоен Государственной премии и ему присвоено звание лауреата Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл работ «Фундаментальные проблемы теории тонкостенных конструкций». 

За свое долгое существование кафедра дала университету известных деятелей науки - С.Г. Лехницкого, А.С. Космодамианского, Л.Ю. Коссовича, трех деканов – Е.Ф. Бурмистрова, Н.М. Маслова, Л.Ю. Коссовича, двух ректоров – Д.И. Лучинина, Л.Ю. Коссовича.

В настоящее время на кафедре работают: доктора физико-математических наук Л.Ю. Коссович, М.В. Вильде, доктора технических наук Э.В. Антоненко, Г.Н. Белосточный, П.Ф. Недорезов кандидаты наук Н.С. Анофрикова, А.А. Голядкина, А.В. Доль, Д.В. Иванов, И.В. Кириллова, Я.А. Парфенова, Р.А. Сафонов, старший преподаватель О.В. Сорокина, ассистенты А.И. Зинина, И.Ф. Паршина, А.В. Полиенко, лаборант В.Е. Коровин, документовед Н.Ю. Ерина.

При кафедре активно работает аспирантура по специальностям «Механика деформируемого твердого тела» и «Биомеханика», действует совет Д 212.243.10 по физ.-мат. наукам по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальностям 01.02.04 и 01.02.08.

За последние 15 лет, благодаря энергичной и целеустремленной деятельности  профессора Коссовича Л.Ю. было налажено тесное сотрудничество кафедры с Институтом Проблем Механики РАН (Москва), Институтом Проблем Точной Механики и Управления РАН (Саратов), Саратовским государственным медицинским университетом, Центром эксперименальной механики университета Любляны (Словения), университетом Солфорда (Манчестер, Великобритания), университетом Манчестера (Великобритания), университетом Брюнеля (Западный Лондон, Великобритания), университетом Глазго (Великобритания), университетом Восточной Каролины (Гринвилл, США), университета Восточной Англии (Норидж, Великобритания), Свободного университета Брюсселя (Бельгия), университета Небраска-Линкольн (США), университета Киля (Великобритания), Научного Центра Сердечно-Сосудистой Хирургии им. А.Н. Бакулева (НЦССХ) (Москва). В результате этого сотрудничества прошли обучение в аспирантуре, подготовили и успешно защитили диссертации несколько выпускников кафедры.

Сотрудники кафедры принимали активное участие в организации и проведении нескольких конференций по направлению механики: международный коллоквиум EUROMECH «Математическое моделирование динамического поведения упругих тонкостенных конструкций» (2002 г.), V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (2005г), Всероссийская конференция. «III сессия научного Совета РАН по механике деформируемого твердого тела» (2009 год).

С 1964 года выпущено более 20 номеров межвузовского сборника "Механика деформируемых сред". За последние годы сотрудники кафедры стали обладателями многочисленных грантов различных научных фондов.

При кафедре функционирует лаборатория по сопротивлению материалов (с 1958 года).

В ноябре 2002 года на базе кафедральной лаборатории компьютерного моделирования в механике была создана лаборатория математического моделирования в биомеханике. В 2009 году лаборатория вошла в состав созданного образовательно-научного института наноструктур и биосистем (ОНИ НСиБС), научным руководителем которого является Л.Ю. Коссович, а директором — И.В. Кириллова. В 2015 году впервые осуществлен набор бакалавров в рамках направления 01.03.03 «Механика и математическое моделирование» по профилю подготовки «Биомеханика».

Сотрудники кафедры принимают активное участие в работе многочисленных научных конференциях, занимаются разработкой новых учебных курсов. Последние научные достижения сотрудников кафедры отражены в статьях ведущих российских журналов.