Родился в селе Ревны Брянской области. В 1940 г. после окончания СШ № 12 г. Брянска поступил на физико-математический факультет Воронежского госуниверситета. Но окончить его не успел: с первых дней Великой Отечественной войны он добровольцем ушел на фронт, откуда вернулся лишь по окончанию войны. За ратную службу во время Великой Отечественной войны А.С. Космодамианский был награжден несколькими боевыми орденами и медалями, в том числе орденом Славы 3 степени.

После окончания Великой Отечественной войны Космодамианский А.С. продолжил учебу на механико-математическом факультете Саратовского госуниверситета (1945-1949), окончил здесь же аспирантуру (1952) при кафедре теории упругости, возглавляемой профессором С.Г. Лехницким.

Со дня окончания аспирантуры А.С. Космодамианский - вот уже в течении 53 годат занимается педагогической деятельностью. Работал преподавателем Ростовского госуниверситета (1952-1953), а с 1953 года старшим преподавателем, доцентом и профессором Саратовского госуниверситета. С 1965 г., в связи с избранием членом корреспондентом Украинской АН, он переехал в г. Донецк, где в Донецком госуниверситете возглавил кафедру теории упругости и вычислительной математики, которой руководит по настоящее время.