Родился 12 февраля 1908 г. После окончания в 1931 г. 2-го Московского университета он был оставлен на работу в научно-исследовательском институте математики в МГУ. После окончания аспирантуры при МГУ Наркомпрос РСФСР командирует молодого специалиста для работы в Саратовском госуниверситете с 25 августа 1935 г. С этого времени по август 1941 г. работает доцентом кафедры математического анализа. Высокие качества специалиста, научного работника, большая энергия сразу выдвинули АИ.БАРАБАНОВА в число ведущих преподавателей кафедры и факультета.
В августе 1941 г. А.И.БАРАБАНОВ был призван в ряды Советской Армии. Как офицер действующей армии он принимает участие в боях на Курской дуге, в составе 1-го и 2-го Белорусского фронтов освобождает Польшу, Германию. Орденом Красной Звезды и пятью медалями отмечен путь А.И.БАРАБАНОВА в Великой Отечественной войне. После демобилизации в октябре 1945 г. он возвращается в Саратов.
После нескольких месяцев работы в должности старшего научного сотрудника НИИМФ СГУ он вновь работает доцентом кафедры математического анализа. С 1947 г. по 1961 г. - декан механико-математического факультета. С 1961 по 1973 г.г. - заведующий кафедрой математического анализа.
Большие способности деятеля и организатора науки и образования, талант преподавателя, добросовестность, требовательность к себе и товарищам снискали Алексею Ивановичу любовь и уважение среди студентов и сотрудников факультета. Его высокие качества гражданина проявились и на посту народного депутата, когда в 1955-1957 г.г. он являлся депутатом Кировского районного совета депутатов трудящихся и затем дважды в 1957-1961 г.г. - депутатом областного совета депутатов трудящихся. Вся трудовая деятельность А.И.БАРАБАНОВА может служить примером полной отдачи всех сил, способностей делу, которому была посвящена вся жизнь. Более 20 благодарностей отмечают труд А.И.БАРАБАНОВА. Его судьба стала частью истории факультета и университета. А.И.БАРАБАНОВ неоднократно заносился на факультетскую и университетскую Доски Почета, занесен в университетскую Книгу Почета.